Trigonometria
Triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos são:
a: hipotenusa
b e c: catetos
h: altura relativa a hipotenusa
m e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.
Relações métricas
Para um triângulo retângulo ABC podemos estabelecer algumas relações entre as medidas de seus elementos:
- O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto sobre a hipotenusa.
b² = a.n c² = a.m
- O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa a hipotenusa.
b.c = a.h
- O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
h² = m.n
- O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos.
a² = b² + c²
Essa relação é conhecida pelo nome de TEOREMA DE PITÁGORAS.
Exemplo:
Neste triângulo ABC, vamos calcular a, h, m e n:
a² = b² + c² → a² = 6² + 8² → a² = 100 → a = 10
b.c = a.h → 8.6 = 10.h → h = 48/10 = 4,8
c² = a.m → 6² = 10.m → m = 36/10 = 3,6
b² = a.n → 8² = 10.n → n = 64/10 = 6,4
Determine os valores literais indicados nas figuras:
a)
13² = 12² + x² 5.12 = 13.y
169 = 144 + x² y = 60/13
x² = 25
x = 5
b)
c)
d)
Determine a altura de um triângulo eqüilátero de lado l.
Determine x nas figuras.
a)
O triângulo ABC é eqüilátero.
O triângulo ABC é eqüilátero.
c)
Determine a diagonal de um quadrado de lado l.
Razões trigonométricas
Considere um triângulo retângulo ABC. Podemos definir:
- Seno do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa do triângulo.
senÊ = e/a senÔ = o/a
- Cosseno do ângulo agudo: razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa do triângulo.
cosÊ = o/a cosÔ = e/a
- Tangente do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente.
tgÊ = e/o tgÔ = o/e
Observe: senÊ = cosÔ, senÔ = cosÊ e tgÊ = 1/tgÔ, sempre Ê + Ô = 90º
Exemplo:
senÔ = 3/5 = 0,6 senÊ = 4/5 = 0,8
cosÔ = 4/5 = 0,8 cosÊ = 3/5 = 0,6
tgÔ = 3/4 = 0,75 tgÊ = 4/3 = 1,333....
Ângulos notáveis
Podemos determinar seno, cosseno e tangente de alguns ângulos. Esses ângulos chamados de notáveis, são: 30°, 45° e 60°. A partir das definições de seno, cosseno e tangente, vamos determinar esses valores para os ângulos notáveis. Considere um triângulo eqüilátero de lado l. Traçando a altura AM, obtemos o triângulo retângulo AMC de ângulos agudos iguais a 30° e 60°. Aplicando as razões trigonométricas ao triângulo AMC temos:
Para obter as razões trigonométricas do ângulo de 45°, considere um quadrado de lado l. A diagonal divide o quadrado em dois triângulos retângulos isósceles.
No triângulo ABD, temos:
Observação: sen45° = cos45°
Resumindo temos a tabela:
Exercícios resolvidos:
1) Calcule o perímetro do triângulo retângulo ABC da figura, sabendo que o segmento BC é igual a 10 m e cos α = 3/5
Solução:
2) Calcule a altura de um triângulo eqüilátero que tem 10 cm de lado.
Solução:
3) A altura de um triângulo eqüilátero mede 4 cm. Calcule:
a) A medida do lado do triângulo
b) A área do triângulo
4) Calcule x indicado na figura
Solução:
Solução:
6) Uma escada apoiada em uma parede, num ponto distante 4 m dos solo, forma com essa parede um ângulo de 60°. Qual é o comprimento da escada em metros?
Solução:
7) Na figura indicada calcule AB.
Solução:
8) Observe na figura os três quadrados identificados por 1,2 e 3. Se a área do quadrado 1 é 36cm² e a área do quadrado 2 é 100cm², qual é, em centímetros quadrados, a área do quadrado 3 ?
A2 = A1 + A3
100 = 36 + A2
A2 = 100 – 36 = 64cm²
9)As raízes da equação x² - 14x + 48 = 0 expressam em centímetros as medidas dos catetos de um triângulo retângulo. Determine a medida da hipotenusa e o perímetro desse triângulo.
10) Sabe-se que, em qualquer triângulo retângulo, a medida da mediana relativa à hipotenusa é igual à metade da medida da hipotenusa. Se um triângulo retângulo tem catetos medindo 5cm e 2cm, calcule a representação decimal da medida da mediana relativa a hipotenusa nesse triângulo.
